حل تمرین صفحه 58 ریاضی هفتم

**خیر**، عدد ۱۷ شمارندهٔ ۲۴۷ نیست. **چرا؟** 💡 یک عدد زمانی شمارنده عدد دیگر است که تقسیم آنها باقی‌مانده‌ای نداشته باشد. اگر ۲۴۷ را بر ۱۷ تقسیم کنیم، حاصل یک عدد صحیح نخواهد بود. $$۲۴۷ \div ۱۷ \approx ۱۴.۵۲$$ به طور دقیق‌تر، $۱۷ \times ۱۴ = ۲۳۸$ است و $۲۴۷ - ۲۳۸ = ۹$. بنابراین، این تقسیم ۹ واحد باقی‌مانده دارد. چون باقی‌مانده صفر نیست، پس ۱۷ شمارنده ۲۴۷ محسوب نمی‌شود.

**بله**. دو عبارت «عددی بر ۳ بخش‌پذیر است» و «عدد ۳ شمارندهٔ آن عدد است» **معنای کاملاً یکسانی** دارند. هر دو عبارت به این معنا هستند که اگر آن عدد را بر ۳ تقسیم کنیم، باقی‌مانده تقسیم صفر خواهد شد.

اگر عدد ۵ شمارنده یک عدد باشد، به این معناست که آن عدد یکی از **مضرب‌های ۵** است. اعدادی که مضرب ۵ هستند، رقم یکان آنها ۰ یا ۵ است. چهار نمونه از این اعداد عبارتند از: - **۱۰** - **۲۵** - **۵۰** - **۱۰۰**

اعدادی بر ۱۵ بخش‌پذیر هستند که **هم بر ۳ و هم بر ۵** بخش‌پذیر باشند. - **قانون بخش‌پذیری بر ۵:** رقم یکان باید ۰ یا ۵ باشد. - اعداد ۱۲۴ خط می‌خورد. - **قانون بخش‌پذیری بر ۳:** مجموع ارقام باید بر ۳ بخش‌پذیر باشد. - **۳۴۵:** $۳+۴+۵=۱۲$ (بر ۳ بخش‌پذیر است) - **۵۵۵:** $۵+۵+۵=۱۵$ (بر ۳ بخش‌پذیر است) - **۲۴۰:** $۲+۴+۰=۶$ (بر ۳ بخش‌پذیر است) بنابراین، اعداد **۳۴۵**، **۵۵۵** و **۲۴۰** بر ۱۵ بخش‌پذیر هستند.

شمارنده‌های یک عدد، تمام اعدادی هستند که آن عدد بر آنها به طور کامل (بدون باقی‌مانده) تقسیم می‌شود. - **شمارنده‌های ۲۰:** $۱, ۲, ۴, ۵, ۱۰, ۲۰$ - **شمارنده‌های ۱۸:** $۱, ۲, ۳, ۶, ۹, ۱۸$ - **شمارنده‌های ۲۴:** $۱, ۲, ۳, ۴, ۶, ۸, ۱۲, ۲۴$ - **شمارنده‌های ۵۰:** $۱, ۲, ۵, ۱۰, ۲۵, ۵۰$ - **شمارنده‌های ۴۰:** $۱, ۲, ۴, ۵, ۸, ۱۰, ۲۰, ۴۰$ - **شمارنده‌های ۳۰:** $۱, ۲, ۳, ۵, ۶, ۱۰, ۱۵, ۳۰$

- **عدد ۲۹ اول است.** (✓) - **هر عدد حداقل ۲ شمارنده دارد.** (✕) **دلیل نادرستی:** عدد **۱** یک استثنا است و فقط یک شمارنده (خودش) دارد. - **تمام عددهای اول، فرد هستند؛ چون اگر زوج باشند، عدد ۲ شمارندهٔ آنها می‌شود.** (✕) **دلیل نادرستی:** عدد **۲** خود یک عدد اول است اما زوج می‌باشد. ۲ تنها عدد اول زوج است. - **اگر عددی غیر از خودش و یک، شمارندهٔ دیگری داشت، حتماً اول نیست.** (✓) (این عبارت، تعریف عدد مرکب است که متضاد عدد اول می‌باشد.)

برای حل این مسئله، ابتدا تعداد کل دانش‌آموزان را پیدا می‌کنیم و سپس حالت‌های ممکن برای گروه‌بندی را بررسی می‌نماییم. ۱. **محاسبه تعداد کل دانش‌آموزان:** $$(۴ \; \text{گروه} \times ۳ \; \text{نفر}) + (۶ \; \text{گروه} \times ۴ \; \text{نفر}) = ۱۲ + ۲۴ = ۳۶ \; \text{دانش‌آموز}$$ ۲. **یافتن شمارنده‌های تعداد کل:** باید ۳۶ نفر را به گروه‌های مساوی تقسیم کنیم، پس به دنبال شمارنده‌های عدد ۳۶ هستیم: شمارنده‌های ۳۶: $۱, ۲, ۳, ۴, ۶, ۹, ۱۲, ۱۸, ۳۶$ ۳. **بررسی شرط مسئله:** اندازه هر گروه باید بین ۲ و ۷ نفر باشد، یعنی می‌تواند ۳، ۴، ۵ یا ۶ نفر باشد. از بین شمارنده‌های ۳۶، اعداد زیر در این بازه قرار دارند: **۳، ۴، ۶** بنابراین، دانش‌آموزان را به **۳ حالت** مختلف می‌توان گروه‌بندی کرد (گروه‌های ۳ نفره، ۴ نفره یا ۶ نفره).

- **آیا می‌توان نتیجه گرفت که ۳ و ۶ شمارنده‌های ۱۸ هستند؟ چرا؟** **بله**. تعریف شمارنده (یا عامل ضرب) دقیقاً همین است. وقتی عددی مانند ۱۸ حاصل‌ضرب دو عدد دیگر (۳ و ۶) است، آن دو عدد شمارنده‌های ۱۸ محسوب می‌شوند. - **آیا می‌توان نتیجه گرفت که همیشه تعداد شمارنده‌های یک عدد، زوج است؟** **خیر**. این نتیجه‌گیری درست نیست. **مثال نقض:** عدد **۹** را در نظر بگیرید. شمارنده‌های ۹ عبارتند از: $۱, ۳, ۹$. این عدد **۳ شمارنده** دارد که عددی فرد است. (به طور کلی، اعدادی که **مربع کامل** هستند، تعداد شمارنده‌هایشان فرد است.)

**خیر**، حاصل‌ضرب دو عدد اول هرگز نمی‌تواند یک عدد اول باشد. **چرا؟** 💡 تعریف **عدد اول** این است که فقط دو شمارنده دارد: ۱ و خودش. وقتی دو عدد اول (مانند $p$ و $q$) را در هم ضرب می‌کنیم، حاصل‌ضرب آنها ($p \times q$) حداقل چهار شمارنده خواهد داشت: **۱، $p$، $q$ و خود $p \times q$**. چون حاصل‌ضرب آنها بیش از دو شمارنده دارد، طبق تعریف، دیگر یک عدد اول نیست و یک عدد **مرکب** است. **مثال:** $۲ \times ۳ = ۶$. عدد ۶ شمارنده‌های $۱, ۲, ۳, ۶$ را دارد، پس اول نیست.

ابتدا جملات مربوط به جمع اعداد زوج و فرد را کامل می‌کنیم: - مجموع دو عدد طبیعی فرد همیشه عددی **زوج** است. (مثال: $۳+۵=۸$) - مجموع دو عدد طبیعی زوج همیشه عددی **زوج** است. (مثال: $۴+۶=۱۰$) - مجموع یک عدد زوج و یک عدد فرد همیشه عددی **فرد** است. (مثال: $۲+۳=۵$) --- **آیا حاصل جمع دو عدد اول همواره یک عدد اول است؟** **خیر**، این جمله درست نیست. **دلیل:** می‌توانیم به راحتی یک مثال نقض پیدا کنیم. عدد ۲ تنها عدد اول زوج است. اگر هر دو عدد اولی که انتخاب می‌کنیم فرد باشند (مانند ۳ و ۵)، حاصل جمع آنها طبق قانون بالا حتماً **زوج** خواهد بود و چون بزرگ‌تر از ۲ است، دیگر نمی‌تواند اول باشد. **مثال نقض:** $$۳ + ۵ = ۸$$ در اینجا ۳ و ۵ هر دو عدد اول هستند، اما حاصل جمع آنها یعنی ۸، عددی مرکب است.